Nullstellen Funktion 6 Grades Homework

Nullstelle (Befehl)

Nullstelle( <Polynom> )
Erzeugt alle Nullstellen eines Polynoms als Schnittpunkte des Funktionsgraphen und der x-Achse.
Beispiel:
berechnet A = (5, 0) und B = (10, 0).
Nullstelle( <Funktion>, <Startwert> )
Berechnet eine Nullstelle der Funktion nach der Newton Methode mit dem Startwert a.
Beispiel:
berechnet A = (5, 0).
Nullstelle( <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> )
Sei a der Startwert und b der Endwert. Dann berechnet dieser Befehl die Nullstelle einer Funktion im Intervall [a, b] (regula falsi).
Beispiel:
berechnet A = (10, 0).

CAS-Ansicht

Nullstelle( <Polynom> )
Erzeugt alle Nullstellen eines Polynoms als Schnittpunkte des Funktionsgraphen und der x-Achse.
Beispiel:
berechnet {x = -2, x = 2, x = 3}.
Anmerkung:
In der CAS-Ansicht ist dieser Befehl ist nur eine Sondervariante des Befehls Löse.

Näherungsweise kann man Nullstellen auch grafisch bestimmen. Man zeichnet den Graphen der Funktion und liest den Abszissenwert beim Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse als Nullstelle ab.

Bei ganzrationalen Funktionen vom Grad ergeben sich bei der Nullstellenbestimmung Gleichungen, für die man (anders als bei linearen und quadratischen Funktionen) im Allgemeinen keine Lösungsformeln mehr zur Verfügung hat. Für Gleichungen dritten und vierten Grades wurden zwar bereits im 16. Jahrhundert „Lösungsformeln“ entwickelt, die jedoch in der Ausführung so kompliziert sind, dass sie praktisch kaum verwendet werden. Für eine Reihe von Problemen lassen sich die Nullstellen mit Näherungsverfahren oder mit einem Computeralgebrasystem bestimmen.

Sonderfälle

Für einige Sonderfälle existieren auch spezielle Lösungsverfahren, z.B. Lösen durchAusklammern.

  • Beispiel 1: Die Nullstellen der Funktion sollen ermittelt werden.

Nullsetzen von f(x) ergibt:

Auf der linken Seite kann man x ausklammern:

Ist ein Produkt gleich null, so ist mindestens einer der Faktoren gleich null, d.h., es ist:
 oder 
Die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt:
 und 

Ein anderes spezielles Lösungsverfahren ist das Lösen durchSubstitution, wenn man es mit so genannten biquadratischen Gleichungen zu tun hat.

  • Beispiel 2: Gegeben sei die Funktion , man ermittle die Nullstellen.

Die Gleichung ist zu lösen. Man setzt .
Mit dieser Substitution erhält man eine quadratische Gleichung in z:

Diese hat die Lösungen  und .
Nun wird die Substitution rückgängig gemacht, und die Gleichungen  und  werden gelöst. Das führt zu folgenden Nullstellen:

Ein weiteres Lösungsverfahren ist das Lösen durchschrittweises Faktorisieren einer ganzrationalen Funktion mithilfe ihrer Nullstellen. Grundlage dafür ist der folgende Zusammenhang:

  • Wenn eine Nullstelle der ganzrationalen Funktion f vom Grad n (mit ), d.h. mit der Form ist, dann gibt es eine Zerlegung der Form . Dabei ist g(x) eine Funktion vom Grad .

Dieser Satz lässt sich folgendermaßen beweisen:
Sei eine Nullstelle von f(x). Angenommen durch Polynomdivision erhält man , also mit einem Rest r, der nicht von x abhängt.
Lässt man nun die Werte von x gegen streben, dann erhält man .
Da nach Voraussetzung eine Nullstelle von f(x) ist, gilt auch auf .
Damit ist , d.h., die Polynomdivision ist ohne Rest ausführbar.
Mit g(x) kann man wiederum so verfahren. Bei jedem Schritt verringert sich der Grad des verbleibenden Polynoms jeweils um 1, d.h., es kann höchstens n Linearfaktoren geben. Es gilt also der Satz:

  • Eine ganzrationale Funktion vom Grad n (mit ), hat höchstens n Nullstellen.

Lässt sich aus der ganzrationalen Funktion f(x) der Linearfaktor mehrfach, etwa k-fach, ausklammern, so nennt man mehrfache Nullstelle (man nennt k auch die Ordnung der Nullstelle). Dabei lassen sich folgende Fälle unterscheiden:


  1. ist eine einfache Nullstelle; der Graph der Funktion schneidet an dieser Stelle die x-Achse.
  2. und k gerade
    ist eine k-fache Nullstelle; der Graph der Funktion berührt die x-Achse (die 1. Ableitung an der Stelle ist gleich null).
  3. und k ungerade
    ist eine k-fache Nullstelle; der Graph schneidet die x-Achse .

Hat eine ganzrationale Funktion n-ten Grades die Nullstellen , so kann man sie nach dem Nullstellensatz für Polynome, einem fundamentalen Satz der Algebra, folgendermaßen als Produkt aus Linearfaktoren darstellen:

Eine wichtige Hilfe bei der Zerlegung einer ganzrationalen Funktion in ihreLinearfaktoren ist folgender Satz:

  • Wenn eine ganzrationale Funktion mit gegeben ist, so ist jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler vom Absolutglied .
  • Beispiel 3: Es sind alle Nullstellen der Funktionen f mit
    a)
    b)
    zu bestimmen.

Lösung der Teilaufgabe a):
Der Funktionsterm ist bereits in Linearfaktoren zerlegt.
Man liest als Nullstellen sofort ab:

Lösung der Teilaufgabe b):
Die (unmittelbar ablesbaren) Nullstellen sind  und . Weitere Nullstellen gibt es nicht, da die aus dem dritten Faktor folgende Gleichung keine reelle Lösung besitzt.

  • Beispiel 4: Von der Funktion sollen die Nullstellen berechnet werden.

Durch Nullsetzen und Ausklammern erhält man:

Aus folgt die zweifache Nullstelle .
Weitere Nullstellen liefert die Gleichung .
Als Teiler des Absolutgliedes kommen  und  in Frage.
Man überzeugt sich sehr schnell, dass die Bedingung erfüllt.
Division durch den Linearfaktor ergibt:

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind die restlichen Nullstellen, also  und . Das heißt, die gegebene Funktion hat vier Nullstellen; ihre Zerlegung in Linearfaktoren ist:

  • Beispiel 5: Von einer ganzrationalen Funktion vierten Grades kennt man die Nullstellen . Weiter sei . Wie lautet die Funktionsgleichung?

Nach dem Nullstellensatz gilt:

Mit erhält man daraus und somit die folgende Funktion:

  • Beispiel 6: Mithilfe eines GTA bzw. CAS ist der Graph der Funktion

    darzustellen, und die Nullstellen sind zu bestimmen.
    Die Linearfaktordarstellung der Funktionsgleichung ist anzugeben.



Die Funktion f hat vier Nullstellen, und zwar , obwohl eine ganzrationale Funktion 7. Grades sieben Nullstellen haben könnte.
Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse bei  und ; ist eine zweifache Nullstelle, da der Graph der Funktion die x-Achse dort berührt und ist.
Mit  und  ergibt sich folgende Darstellung in Linearfaktoren:

Man kann also durchaus von sieben Nullstellen sprechen: zwei einfachen, einer doppelten und einer dreifachen Nullstelle.

Eine Variation der grafischen Methode (Graph zeichnen, am Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse die Nullstelle ablesen) bringt das nachfolgende Beispiel zum Ausdruck.

  • Beispiel 7: Die Nullstellen der Funktion sind zu ermitteln.

Aus folgt , d.h., der Funktionsterm von f ist auf diese Art und Weise geschickt in zwei Terme zerlegt worden, die wiederum Funktionen darstellen und deren Graphen man besonders einfach zeichnen kann (Normalparabel und Gerade). Die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen sind die Nullstellen der Ausgangsfunktion, denn nach den vorgenommenen Veränderungen gilt .
In diesem Fall liest man  und  als Nullstellen ab (siehe Abbildung).

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